Dowód
Załóżmy, iż jest ciągiem liczb rzeczywistych, a < b oraz a < cn < b dla wszystkich n. Indukcyjnie wybieramy liczby oraz liczby naturalne nk, w ów rodzaj iż dla każdego k mamy
- n0 = 0, a0 = a, b0 = b,
- nk < nk + 1, ,
- ,
- zbiór jest nieskończony.
Pierwszy przesłanka ponad definiuje n0,a0,b0. Przypuśćmy iż wybraliśmy uprzednio nk,ak,bk tak, iż wymagania sformułowane ponad są spełnione. Niech . jeżeli zbiór jest nieskończony, owo połóżmy ak + 1 = ak, bk + 1 = d i wybierzmy nk + 1 > nk w ów rodzaj iż . jeżeli zbiór jest skończony, owo wtedy zbiór musi odnajdować się nieskończony. W tym wypadku deklarujemy iż ak + 1 = d, bk + 1 = bk i wybieramy nk + 1 > nk w ów rodzaj iż .
Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy iż seria jest ciągiem Cauchy'ego, zaś w takim razie wobec zupełności prostej rzeczywistej jest mężczyzna zbieżny.