Dowód 2
Aby dowieść ograniczoność obrazu przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: o ile reprezentacja funkcji f nie ma ograniczenia górnego, owo możemy wykryć władza taki, że na rzecz każdego n. w ten sposób w takim przypadku wówczas
(*) .Niech będzie zbieżnym podciągiem ciągu i niech . bo rynek domknięty [a,b] zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, owo wiemy że . Następnie, spośród ciągłości funkcji f mamy , jednak władza w charakterze podciąg ciągu rozbieżnego aż do (przypomnijmy (*)) nie możliwy zbieżny aż do f(c). Uzyskana sprzeczność pokazuje że nasze przeczucie było fałszywe, lub f posiada zastrzeżenie górne.
Oznaczmy kraniec szlachetny obrazu f na mocy d, mamy w takim przypadku . Możemy w takim przypadku wykryć taki władza , że na rzecz każdego n. spośród twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg zbieżny , którego granicę oznaczymy na mocy c. w takim przypadku wykorzystując po raz inny własność ciągłości funkcji f otrzymujemy . i w takim przypadku wartość funkcji f w punkcie jest kresem górnym obrazu f (a w takim przypadku podobnie na rzecz wszystkich ).
Analogicznie dowodzimy ograniczoności obrazu funkcji spośród dołu i znajdujemy taką liczbę , że .